GRE數(shù)學(xué)|不能讓GRE330毀在眼神上

在上周，小編給大家提供了一些GRE寫作中的成語使用方法：、  

今天給大家講一講關(guān)于GRE數(shù)學(xué)的排列方式！

排列permutation(國內(nèi)也譯為arrangement)是GRE數(shù)學(xué)四個部分中最后一個部分Data Analysis的一個基礎(chǔ)而重要的知識點。

不論你是初次接觸國際和GRE的數(shù)學(xué)，還是從高中起就學(xué)習(xí)IB或SAT數(shù)學(xué)走過來的，你都可以明顯地感受到在GRE數(shù)學(xué)中，DataAnalysis這一部分的難度對比前三部分Arithmetic,Algebra和Geometry是有很大提升的。

而本文要講的permutation，不僅本身可能出現(xiàn)較難的題目，更是后邊組合combination和概率probability等重要知識點的基礎(chǔ)。

本文以乘法原則MultiplicationPrinciple為基礎(chǔ)，先引入階乘factorial的概念，最后帶你理解permutation的含義，并且會見識到部分難題的套路。

1. 乘法原則Multiplication Principle

If an event contains step 1 & step 2which are both independent, and there are k choices included in step 1 and m instep 2, then k×m approachesaltogether will be available.

解析：理解乘法原則的要點一是要理解事件的2個步驟是“有且僅有的”，二是要理解獨立independent的意思，即該步驟發(fā)生哪種結(jié)果是不受其他步驟的影響的，比如扔兩枚硬幣，第一枚的正反與第二枚的正反是無關(guān)的。例題可以參考GRE OG第277頁，此處略。

2. 階乘Factorial

Definition: The order of n subjects placed sequentially is called a factorial or a full permutation of the subjects.

3 persons standing in a queue4 persons standing in a queuen persons standing in a queue

ABC,BAC,CAB

ACB,BCA,CBA4×3×2×1

=24n(n-1)(n-2)…(3)(2)(1)

=n!

解析：

1) factorial是permutation的一種特殊情況;

2) 3個實驗對象subjects排隊的時候可以用窮舉法把所有情況列舉出來。而4個人的時候比較多，可以類比乘法原則：排在隊伍第一個的人的選擇有4種，排在第二的選擇還剩下3種，之后為2和1種。注意，由order和sequentially可知，此時幾個steps之間并不是獨立的關(guān)系，因此每個step的選擇的數(shù)量考慮了上一個step的影響;

3) 由特殊到一般，n個對象排隊的排列數(shù)可以推導(dǎo)如表所示。將這一長串相乘的數(shù)字規(guī)定為’n!’ (read as ‘n factorial’)。比如4個人排隊的排列數(shù)就可以列為4的階乘即4!。

3. 排列Permutation

Definition: The order of n subjectstaken k at a time sequentially is called a permutation of the subjects.

4 persons standing in a queue (of 4)4 persons standing in a queue (of 2)n persons standing in a queue (of k)

4!=244×3=12n(n-1)(n-2)…(n-k+1)

=nPk or Pkn or P(n,k)

解析：

1) Permutation和factorial的區(qū)別在于前者只有一部分對象參與排隊，而后者是所有的對象都參與排隊(因此也叫full permutation)。4個人排隊可以理解為4個人排(4個位置的)隊，這屬于factorial or full permutation,而4個人排2個位置的隊則是一般形式的permutation;

2) 由特殊到一般，n個人排k個位置的隊的k個步驟分別是：第一個位置有n種，第二個位置有n-1…第k個位置有n-(k-1)種。對于這一長串相乘的數(shù)字規(guī)定為nPk(表格里另外兩張寫法也有，另外國內(nèi)一般規(guī)定為Akn，GRE數(shù)學(xué)以第一個為準)。當(dāng)k=n時，即有nPn=n!;

3) nPk的計算可以理解作從n開始數(shù)k個數(shù)字為止相乘的結(jié)果，如8P3=8×7×6=336。

Test 1) How many different four-digit codescan be formed using the digits 0 to 9 if none of the digits can occur more thanonce? (GRE OG例題)

解題思路：four-digitcodes表示密碼是有且僅有4位的，和permutation定義中的步驟是一個概念，而0~9這10個數(shù)字均僅能用1次，與參與排列的總對象n是一個概念，故可列式為：

10P4=10×9×8×7=5040

以上為一道典型的permutation的題目。然而，有時候題目的難度并不止于此。第二道題目提醒單身狗要做好心理準備，因為你不僅要接受難題的洗禮，還要被喂狗糧。

Test 2) 5 persons are queuing to wait forthe subway, including a pair of lovers who don’t want to separate with each other. How many different queues may represent?

解題思路：對于被限定條件綁在一起的對象(手動滑稽)，整體看成1個可以單獨參與排列的對象，并且增加一個步驟表示這個整體內(nèi)部的全排列，公式可列為：

4P4×2P2=24×2=48

以上方法可以簡稱為打包法，可以解決同類型的許多題目。之后的另一種類型題目給單身狗平復(fù)一下情緒，使用的是另一種方法，請同學(xué)們自行思考。

Test 3) 5 persons are queuing to wait forthe subway, including a pair of former lovers who don’t want to standwith each other. How many different queues may represent?