助攻滿(mǎn)分?jǐn)?shù)學(xué)|GRE之集合攻略

在數(shù)學(xué)考試中，有很大的比例的考題會(huì)涉及到數(shù)據(jù)分析的內(nèi)容(data analysis)。而在這類(lèi)問(wèn)題中涉及集合的問(wèn)題又是我們考生受到訓(xùn)練較少的題型。

我們首先來(lái)看下set集合這一個(gè)概念。A set is simply a group of two or more numbers or other terms. 一組數(shù)或者一些其他符號(hào)構(gòu)成一個(gè)集合，在這個(gè)集合里這些數(shù)或者符號(hào)被稱(chēng)為element(元素)。

如果S是一個(gè)有限數(shù)量的集合，那么|S|被定義為元素的數(shù)目。例如S={2,3,4,5,6}，那么|S|=4，盡管這個(gè)集合里面有5個(gè)元素，但是里面有2個(gè)重復(fù)的元素，因此|S|為4而不是5。

隨后關(guān)于集合的問(wèn)題，學(xué)生需要了解集合之間的關(guān)系。Union，并集，是指兩個(gè)或多個(gè)集合中共有的元素的集合。那么對(duì)于兩個(gè)集合A與B來(lái)說(shuō)，union of A and B可以用符號(hào)：A∪B。另一個(gè)集合間的關(guān)系是交集，intersection。還是一樣，我們拿兩個(gè)集合A和B來(lái)看，intersection of A and B為：A∩B。在交集中，又有一個(gè)比較特殊例外，如果兩個(gè)集合的交集為0，即A∩B=∅，則把這兩個(gè)集合的關(guān)系成為disjoint or mutually exclusive。

對(duì)于集合中的定義就是以上這些，那么對(duì)于常見(jiàn)的GRE數(shù)學(xué)中的問(wèn)題會(huì)涉及到什么呢?主要是關(guān)于集合數(shù)量的計(jì)算。這里可以給各位同學(xué)回憶下最早我們接觸過(guò)的一個(gè)解題方法，Venn diagram，韋恩圖。或許這個(gè)名稱(chēng)大家不熟悉，但當(dāng)我說(shuō)出以下的例子后，相信大家都會(huì)回憶起來(lái)。

Of the 410students at Xinhua High School, 240 study Spanish and 180 study French. If 25students study neither language, how many study both?

大家對(duì)這個(gè)例子是不是很熟悉呢?相信許多同學(xué)看完這道題就會(huì)恍然大悟，這不是我們很早時(shí)候接觸的題目么?

讓我們?cè)賮?lái)回憶下，先前老師的講解方法。我們用封閉的圓來(lái)代表每個(gè)科目，一個(gè)圓來(lái)表示學(xué)習(xí)Spanish的學(xué)生人數(shù)，另一個(gè)圓來(lái)表示學(xué)習(xí)French的學(xué)生人數(shù)。那么兩圓相交的區(qū)域即為兩門(mén)語(yǔ)言課程都學(xué)習(xí)的學(xué)生。我們可以把這個(gè)人數(shù)值設(shè)為x。隨后根據(jù)題目的條件我們可以列出下列等式：240-x+180-x+x = 410-25。得出x=35，因此兩門(mén)語(yǔ)言都學(xué)習(xí)的學(xué)生人數(shù)為35。

那么集合是否可以用來(lái)計(jì)算這類(lèi)問(wèn)題呢?我們可以注意到學(xué)生的人數(shù)這個(gè)點(diǎn)與集合的集合元素?cái)?shù)有所關(guān)聯(lián)，并且對(duì)于集合的元素?cái)?shù)的計(jì)算也是有著公式存在|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|，是對(duì)于兩個(gè)集合而言;對(duì)于三個(gè)集合而言|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|，因此對(duì)于上述題目，兩門(mén)語(yǔ)言都學(xué)習(xí)的學(xué)生人數(shù)即為|A∩B|。所以我們可以得到|A∩B|=240+180-(410-25)=35。

上述的對(duì)比中，我們可以看出集合的計(jì)算有著更為簡(jiǎn)便的優(yōu)勢(shì)。下一個(gè)例子，我們來(lái)看看集合的運(yùn)算在三個(gè)集合上的優(yōu)勢(shì)。

Studentswill choose to study three courses, Mathematic, English and Chinese. 35 studyMathematic, 30 study Chinese, 32 study English. If 20 students study bothMathematic and Chinese, 15 study both English and Chinese, 22 study bothMathematic and English, and 8 students study all three. And every student studyat least one course, how many students in this class?

這里我們將運(yùn)用集合的運(yùn)算來(lái)解決上述例題。問(wèn)題問(wèn)的是該班總共有多少學(xué)生，那么對(duì)應(yīng)的就是問(wèn)的值。因此，|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|，即|A∪B∪C|=35+30+32-20-15-22+8=48。如果應(yīng)用Venn diagram來(lái)處理的話(huà)，則需要應(yīng)用3個(gè)圓的圖來(lái)解決，相應(yīng)的難度則比2圓圖大很多。

本次對(duì)于數(shù)學(xué)中的集合問(wèn)題的分析到此結(jié)束，希望同學(xué)們能夠熟練掌握集合的計(jì)算來(lái)回答相應(yīng)的問(wèn)題。

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